SteamedFish

Mathematics: The Loss of Certainty

刚刚读完了《数学:确定性的丧失》这本书。作者用悲观的语调讲述着纯粹数学是如何陷入它自身为其营造的尴尬境界的。

最主要的尴尬并非来源于数学内部，而是来源于人们对数学的一项不切实际的期望：人们期望纯粹数学代表着宇宙间的绝对真理，是绝对可靠和毋庸置疑的，从而甚至可以决定宇宙。然而，最后人们终于发现，何为真理，并不是数学能够回答的，每个数学定理都必须在“对”或者“真”的前面加上自己的限定条件和适用范围。不存在没有前提的真，不存在绝对真理。

无数的限定条件，事实上决定了无数的数学，不同的数学得出不同的结论，正如欧式几何和非欧几何所表现出来的那样。而数学家们小心翼翼地从这无数种数学中选出其结论符合我们观测的那几种，因为其他的数学不能被自然科学所利用，除了是智力游戏之外不能给我们带来任何好处。这样，数学的地位就从通向绝对真理的巴别塔，降格为受限于人类观测的，可能会随着人类观测水平的提高而出现修正的科学，也就是降格为和物理学等自然科学一个等级。

这使我感到舒服。如果人类能够证明绝对真理的存在，就意味着人类可以证明存在一个可以逐渐接近的全能的上帝。而人类逐渐接近上帝就意味着人类逐渐成为上帝，这是不被我的哲学所允许的。人类应该受到自身感官的限制，这是毋庸置疑的事情，哪怕是人类发展出来的数学也不能例外。

数学家发现自己并非上帝而只是凡人这一事实，虽然确实值得伤心，但是并非悲观的理由。只要我们选择的数学并未背离我们的感官，数学就有继续存在下去的理由，并且可以继续一如既往地为自然科学服务。注定有一部分数学将被证明是无足轻重的推理游戏，但是绝大多数数学仍将拥有意义。

避免数学失去意义的一个重要手段是，尽一切可能避免数学同自然科学的分裂。只要数学可以应用于自然科学，那么数学就是有意义的。如果数学发展到了和自然科学互相之间无法理解的地步，数学就将很可能失去他的土壤。

而人类对于上帝和绝对真理的追求，将注定不能够利用自然科学来实现。上帝不但不可达到甚至不可接近，从而关于他的一切讨论都必须归到宗教的范畴。

附上一个讨论：

Corsair to SteamedFish: 我觉得数学只要有一部分同自然科学交互就行了。其他部分可以研究各种诡异的系统，包括不能用来解释自然的。
Corsair to SteamedFish: 我不喜欢把数学变成科学 [22:20]
SteamedFish to Corsair: 但是脱离人类感官的诡异系统是不会得到足够的问题来促使他们发展的 [22:21]
SteamedFish to Corsair: 数学发展的关键是一定要存在问题 [22:22]
Corsair to SteamedFish: 不一定吧，数学家总是能脱离感官的
Corsair to SteamedFish: 高维空间脱离感官么？ [22:23]
SteamedFish to Corsair: 如果数学家总是能脱离感官，就不能解释人类花了几千年才接受了负数，无理数和实无穷，花了几百年才接受了非欧几何，复数和微积分。而这些接受都是自然科学逼迫的 [22:24]
SteamedFish to Corsair: 高位空间还是对低维空间的推广，还是在低维空间感官的基础上的
Corsair to SteamedFish: 但是数学里也有很多东西不是因为自然科学产生的
Corsair to SteamedFish: 比如数论
SteamedFish to Corsair: 数学现在基本上还是对感官的抽象和推广 [22:25]
Corsair to SteamedFish: 各种诡异的计数系统比如 church 数
SteamedFish to Corsair: 但是数论还是基于感官的，整数就是感官的产物
Corsair to SteamedFish: 那要你这么说的话只要某个理论里出现人话就是感官的产物了 [22:26]
SteamedFish to Corsair: 整数的存在基本上只能当作公理 [22:27]
SteamedFish to Corsair: 用空集来定义零和用零来定义空集只能算是循环论证。用“每两个元素都相同的集合”来定义一的时候用到了二 [22:28]
Corsair to SteamedFish: so?
SteamedFish to Corsair: 但是全世界所有的数学在互相交流之前都包含了整数，说明整数是来源于感官 [22:29]
Corsair to SteamedFish: 那不能这么说阿，那讨论感官问题就没意义了
[22:30]
SteamedFish to Corsair: 如果整数不是来源于感官就不能解释为什么全世界都同时独立地在发展整数的学问
Corsair to SteamedFish: 无论多么诡异的理论都是源于感官 [22:31]
Corsair to SteamedFish: 但他不一定就能解释自然
SteamedFish to Corsair: 你所谓的诡异系统，也许其中整数就是不存在的
SteamedFish to Corsair: 但是这种系统我认为是无足轻重的 [22:32]
Corsair to SteamedFish: church 数算整数么？
SteamedFish to Corsair: church 数是有意义的 [22:33]
Corsair to SteamedFish: 啥意义？
SteamedFish to Corsair: 用 church 数可以编码可计算函数 [22:34]
SteamedFish to Corsair: 从而可以得出可计算数集的性质 [22:35]
Corsair to SteamedFish: 那你就是说不存在一个系统 so 诡异 that 脱离感官呗
[22:36]
SteamedFish to Corsair: 存在，但是都因为无意义而没有进入数学
Corsair to SteamedFish: 元数学脱离感官么？ [22:37]
SteamedFish to Corsair: 因为无意义，就没有问题，就没有人解答问题，于是就没有进入数学
SteamedFish to Corsair: 元数学是将数学纯粹化的一种尝试，因此在其中尽量使用“显然”的公理而抛弃那些有争议的公理，因此元数学比数学更接近感官
[22:38]
Corsair to SteamedFish: 那元数学能用来解释自然么？ [22:39]
SteamedFish to Corsair: 能啊 [22:40]
Corsair to SteamedFish: 解释啥？除了数学
SteamedFish to Corsair: 数学能解释自然，那么数学的子集，元数学，为什么不能
[22:41]
SteamedFish to Corsair: 欧氏几何能解释自然，那么去掉平行公理的欧氏几何就不能解释自然了？
Corsair to SteamedFish: 我们还没有决定是否全部数学都是用来解释自然的
Corsair to SteamedFish: 黎曼几何能解释自然并不能说明所有非欧几何都能解释自然
[22:42]
SteamedFish to Corsair: 黎曼集合并非是全部非欧几何的子集 [22:43]
Corsair to SteamedFish: 好吧 s/黎曼/某种非欧
SteamedFish to Corsair: 明确一下我们争论的话题：我是认为不能解释自然的那部分东西应该被踢出数学之外，而你认为数学应该包含这一部分。那么我们对数学的定义不同 [22:45]
Corsair to SteamedFish: 好吧…
SteamedFish to Corsair: 而我认为不能解释自然的那部分东西就算归到了数学之内，也会迅速死亡，乃至于就算是按照你的数学定义，活跃着的数学也必然是能够解释自然的 [22:46]
Corsair to SteamedFish: 反正我就是觉得数论没解释啥自然 [22:49]
SteamedFish to Corsair: 这是一种自然选择，进化论，会导致按照你定义的数学中将会主要活跃着能够解释自然的那个部分
Corsair to SteamedFish: church 数也没解释啥
SteamedFish to Corsair: 整数本身就来源于自然，那么整数的理论肯定就是和自然相关的
[22:50]
SteamedFish to Corsair: 虽然数论并没有用于物理学，但是物理学不是自然的全部
[22:51]
Corsair to SteamedFish: 整数不一定就源于自然吧。 [22:52]
Corsair to SteamedFish: 整数只是个概念 [22:53]
SteamedFish to Corsair: 那么你怎么解释全世界许多文明都同时独立地发明了整数这个概念
SteamedFish to Corsair: 你怎么解释全世界文明所创造的数论奇迹般地保持一致
[22:54]
SteamedFish to Corsair: 你又怎么解释为什么一开始全世界的文明所发明的几何都是欧氏的 [22:57]
Corsair to SteamedFish: 好吧，就算整数是源于自然，但是数论不是用来解释自然的
Corsair to SteamedFish: 我又没说欧式几何不是用于解释自然的
SteamedFish to Corsair: 好吧，那么我把话题从解释改为源于 [22:58]
SteamedFish to Corsair: 那些并非源于自然的诡异系统是没有生存空间的
Corsair to SteamedFish: 找你这么说肯定没有不是源于自然的了
[22:59]
Corsair to SteamedFish: 因为都是人想出来的
Corsair to SteamedFish: 我想说整数是宇宙的一个性质 [23:00]
Corsair to SteamedFish: 这个概念就在那
Corsair to SteamedFish: 但是这不能叫源于自然
SteamedFish to Corsair: 不对，整数是人类感官观测到的宇宙的一个性质
Corsair to SteamedFish: 不对。我觉得整数是宇宙固有的
SteamedFish to Corsair: 那么你在说绝对真理
Corsair to SteamedFish: 对
Corsair to SteamedFish: 当然你得观测才能知道 [23:01]
Corsair to SteamedFish: 但是他不是因为你观测而存在的
SteamedFish to Corsair: 你能证明么
Corsair to SteamedFish: 或者说整数这个东西不是人造的 [23:02]
Corsair to SteamedFish: 不能
Corsair to SteamedFish: 因为要证明这个得跑到宇宙这个系统以外
SteamedFish to Corsair: 那么你凭什么说他是绝对真理 [23:03]
Corsair to SteamedFish: 我觉得
Corsair to SteamedFish: 你又如何证明数学里的一切部分都源于自然？
[23:04]
Corsair to SteamedFish: 除非你这么定义数学
SteamedFish to Corsair: 我认为整数可能是人类观测手段和宇宙共同作用的性质
[23:05]
Corsair to SteamedFish: 我觉得这就像逻辑，或者因果
SteamedFish to Corsair: 人们看到的宇宙都是被观测手段影响之后的宇宙，得出的性质不能直接归为宇宙的性质
Corsair to SteamedFish: 噢，不对，这不一样
SteamedFish to Corsair: 因为你不能够摆脱观测的影响去还原宇宙 [23:06]
Corsair to SteamedFish: 嗯… [23:07]
Corsair to SteamedFish: 那没办法了，一切事物都必然源于自然
[23:08]
Corsair to SteamedFish: 包括所有不能解释自然的理论
SteamedFish to Corsair: 好吧。。。
SteamedFish to Corsair: 但是不存在绝对真理 [23:09]
Corsair to SteamedFish: 那一切事物都必然源于自然不就成了绝对真理了？
SteamedFish to Corsair: 海森堡测不准定率：人类的观测是不可靠的。歌德尔不完备定律：人类的推理是不完备的。Löwenheim-Skolem 定理：人类的定义是不完备的
[23:12]
Corsair to SteamedFish: Er…
SteamedFish to Corsair: 一切事务都源于自然不是一个关于自然的理论，是一个关于人类和自然关系的理论
Corsair to SteamedFish: 测不准原理不是说观测是不可靠的…
SteamedFish to Corsair: 不精确的？ [23:13]
Corsair to SteamedFish: 只能说不反应“绝对真理”
Corsair to SteamedFish: 但是测量是准确的 [23:14]
SteamedFish to Corsair: 那就是我定义的“不可靠”了
Corsair to SteamedFish: 好吧…
SteamedFish to Corsair: 准确，但是不可靠
SteamedFish to Corsair: 我要睡觉了。允许我将这个讨论贴到博客上么
[23:15]
Corsair to SteamedFish: 也不能叫不可靠。因为测量永远都是反应“真实”的态
Corsair to SteamedFish: 好
SteamedFish to Corsair: 我定义的“不可靠”就是不能反应绝对真理的意思，在这点上我们是有共识的，只是我们的定义不同 [23:16]
Corsair to SteamedFish: 不是不存在绝对真理的么
Corsair to SteamedFish: 你的测量影响对像
Corsair to SteamedFish: 但是你不能说对象的态不是你测量的那样
Corsair to SteamedFish: 因为如果你不测量的话，你什么都不知道
[23:17]
SteamedFish to Corsair: 不说了，我睡了
SteamedFish to Corsair: 明天上班
Corsair to SteamedFish: 晚安~~

Posted in: 胡言乱语

This entry was posted on Saturday, June 13th, 2009 at 10:12 pm and is filed under 胡言乱语. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.